برنامه ریزی پرتابه – عملیات مسیر پیوسته

برنامه ریزی پرتابه   عملیات مسیر پیوسته

 

Trajectory Plaing:

Continuous-Path

Operations

 

مقدمه :

 

متعاقب آنچه در فصل ششم در باره مطالعه برنامه ریزی پرتابه برای عملیات برداشتن و گذاشتن = PPO گفته شد در این فصل به مطالعه عملیات مسیر پیوسته می پردازیم .

 در PPO وضعیت قرار گرفتن ؛ پیچیدن و میزان پیچش EE تنها در دو انتهای پرتابه مشخص می شود . هدف از طراحی پرتابه ترکیب کردن وضعیت قرار گیری با حرکت روان و یکنواخت است .

11.1 Introduction

As a follow-up to Chapter 6, where we studied trajectory plaing for pick-and place

operations (PPO), we study in this chapter continuous-path operations.

In PPO, the pose, twist, and twist-rate of the EE are specified only at the two

ends of the trajectory, the purpose of trajectory plaing then being to blend

the two end poses with a smooth motion.

وقتی این ترکیب در اتصالات با فضای متغیر صورت می گیرد همانگونه که در فصل ششم هم ذکر شد  مسئله سرراست است مثالهایی وجود دارد که این ترکیب بایددر فضای کارتزین = دکارتی  ایجاد شود با این عقیده پیشرفته که دستکاری در همان چیزی است که با عنوان فضای تصویری جابجایی فضایی  نامیده می شود و در سال 1984 توسط : راوانتی و روت معرفی شده است  باید صورت گیرد .

 When this blending is done in the

joint-variable space, the problem is straightforward, as demonstrated in Chapter

6. There are instances in which the blending must be made in Cartesian

space, in which advanced notions of interpolation in what is known as the image

space of spatial displacements, as introduced by Ravani and Roth (1984),

are needed.

 

فضای تصویری در جابجایی فضایی عبارت از فضای پرتابه ای در سه بعد دوگانه است که بدین معنی است که نقطه این فضای خاص با چهار مختصات مشخص می شود. شبیه مختصات همگنی که در مقدمه بخش 5-2 بشکل Xi 4- e^i برای i = 1,2,3,4, بیان شده است .

 The image space of spatial displacements is a projective space

with three dual dimensions, which means that a point of this space is specified

by four coordinates—similar to the homogeneous coordinates introduced in

Section 2.5—of the form Xi 4- e^i, for i = 1,2,3,4, where e is the dual unity,

which has the property that e^ = 0. The foregoing coordinates are thus dual

numbers, their purpose being to represent both rotation and translation in one

single quantity. In following Ravani and Roth's work, Ge and Kang (1995) proposed

an interpolation scheme that produces curves in the image space with

second-order geometric continuity, which are referred to as G^ curves. These

interpolation techniques lie beyond the scope of the book and will be left aside.

The interested reader will find a comprehensive and up-to-date review of these

techniques in (Srinivasan and Ge, 1997).

فضا، که در آن مفاهیم درون یابی پیشرفته در آنچه که به عنوان تصویر شناخته شده
فضای جابه جایی مکانی، به عنوان روانی و راث (1984)،
مورد نیاز است. فضای تصویر جابه جایی مکانی یک فضای تصویری است
با سه بعد دوگانه، که بدان معنی است که یک نقطه از این فضای مشخص شده است
چهار مختصات-شبیه به مختصات همگن معرفی شده در
بخش 2.5 از فرم خی 4- E ^ من، برای i = 1،2،3،4، که در آن e وحدت دوگانه،
که دارای خاصیت است که E ^ = 0. مختصات فوق در نتیجه دوگانه می باشد
اعداد، هدف خود را که به نمایندگی از هر دو چرخش و ترجمه در یک
مقدار است. در زیر روانی و کار راث، جنرال الکتریک و کانگ (1995) پیشنهاد
طرح الحاق است که تولید منحنی در فضا تصویر با
مرتبه دوم تداوم هندسی، که به عنوان G ^ منحنی نامیده می شود. اینها
تکنیک های درون یابی فراتر از محدوده کتاب دروغ و کنار گذاشته شود.
خواننده علاقمند جامع و به روز بررسی این را پیدا خواهد کرد
تکنیک های در (سرینیواسان و Ge، 1997).

 

While most methods of trajectory plaing at the Cartesian-coordinate level

focus on the path followed by the operation point, the underlying inverse kinematics

of a six-axis robotic manipulator requires the specification of the orientation

of the EE as well. In the presence of simple manipulators with a spherical

wrist, as those studied in Subsection 4.4.2, the positioning and the orientation

tasks are readily separable, and hence, the plaing of the two tasks can be

done one at a time. In other instances, e.g., in most arc-welding robots, such a

separation is not possible, and both tasks must be plaed concurrently, which

is the focus of our discussion below. Here, we follow the technique presented in

(Angeles et al., 1988).

Crucial to our discussion is the concept of path orientation. Let JT be a

warped curve in 3-dimensional space that is smooth in a certain interval of

interest for our discussion. Under these conditions, we can associate with every

point of this interval an orthonormal triad of vectors, i.e., a set of unit vectors

that are mutually orthogonal, namely, the tangent^ the normal^ and the binormal

vectors of JT. Therefore, when this set of vectors is properly arranged in a 3 x 3

11.2 Curve Geometry 431

array, a rotation matrix is obtained. This matrix thus represents the orientation

of r. In order to parameterize these vectors, let s be the arc length measured

along r from a certain reference point on this curve. Below we review the basic

diflFerential-geometric concepts pertaining to our discussion.

The tangent, normal, and binormal unit vectors, e^, e^, and e?,, respectively,

associated with every point of F where this curve is smooth, are generically

termed here the Frenet-Serret vectors. These vectors are defined as

et = r'

11.2 Curve Geometry =

هندسه منحنی

کاربردهای رباتیک در مسیر پیوسته در عملیاتی مانند جوشکاری قوس الکتریکی ؛ برش با شعله دبورینگ و مسیریابی ظاهر می شود .

در این عملیات، یک ابزاری که صلب است به انتهای-موثر بازوهای مکانیکی روبات متصل می شود  و از این ابزار برای ردیابی یک مسیر پیوسته و صاف در یک فضای  پیکربندی 6 بعدی استفاده می شود.
فضا.

Continuous-path robotics applications appear in operations such as arc-welding,

flame-cutting, deburring, and routing. In these operations, a tool is rigidly

attached to the end-effector of a robotic manipulator, the tool being meant

to trace a continuous and smooth trajectory in a 6-dimensional configuration

Space.

 

سه بعد از این فضا از  طریق مسیر فضایی که در نقطه عملیات EE شرح داده می شود و در حالی که سه بعد  باقی مانده  به توصیف جهت گیری  EE می پردازد .

Three dimensions of this space describe the spatial path followed by the

operation point of the EE, while the remaining three describe the orientation

Of the EE.

 

بعضی از  کاربردها نیاز دارند که این برنامه در طول یک منحنی پیچیده  اجرا شود مثل جاهایی که سطوح مختلف با هم تماس دارند

به عنوان مثال، در بدنه هواپیما ( بدون بالها و دم و موتور ) مسیرهایی که به پس و پیش می رود بعنوان تابعی از زمان توصیف می گردد.

Some applications require that this task take place along a warped

curve, such as those encountered at the intersections of warped surfaces, e.g.,

in aircraft fuselages, while the path is to be traversed as a prescribed function

of time.

علاوه بر آن این تابع وابسته به کار است بعنوان مثال در جوش قوس الکتریکی ؛ الکترود باید در مسیری با سرعت ثابت قرار داشته باشد و این درصورتی است که هیچ تصحیحی برای جبران جاذبه =
گرانش زمین در نظر گرفته نشود . اگرجبران  تاثیر نیروی جاذبه تضمین شود در این صورت مقدار سرعت با توجه به مسیری که طی می کند باید مقداری عمودی باشد .

This function, moreover, is task-dependent; e.g., in arc-welding, the

electrode must traverse the path at a constant speed, if no compensation for

gravity is taken into account. If gravity compensation is warranted, then the

speed varies with the orientation of the path with respect to the vertical.

در زیر ما به تعریف جهت : فرنت- سرت در چهارچوبی پرداخته ایم که در ارتباط با هر نقطه از مسیری است که باید صاف و یکنواخت باشد . علاوه بر این به دلایل کاربردی مسیر EE بعنوان ماتریسی چرخشی است که آنهم به نوبه خود تابعی یکنواخت از زمان است .

 

 Below

we will define this orientation as that of the Frenet-Serret frame associated

with every point of the path where the path is smooth.

Moreover, for functional reasons, the orientation of the EE is given as a

rotation matrix that is, in turn, a prescribed smooth function of time.

 

مثلا در جوشکاری قوس الکتریکی جهت گیری الکترود با توجه به منحنی باید ثابت باشد . طراحی پرتابه  با توجه به مسیری پیچشی که دارد  کم و بیش سرراست است ، اما طراحی پرتابه با جهت یابی مادون فضایی کمتر است .

 

 In arcwelding,

for example, the orientation of the electrode with respect to the curve

must be constant. The trajectory plaing of the configuration subspace associated

with the warped path is more or less straightforward, but the plaing

of the trajectory associated with the orientation subspace is less so.

While most methods of trajectory plaing at the Cartesian-coordinate level

focus on the path followed by the operation point, the underlying inverse kinematics

of a six-axis robotic manipulator requires the specification of the orientation

of the EE as well. In the presence of simple manipulators with a spherical

wrist, as those studied in Subsection 4.4.2, the positioning and the orientation

tasks are readily separable, and hence, the plaing of the two tasks can be

done one at a time. In other instances, e.g., in most arc-welding robots, such a

separation is not possible, and both tasks must be plaed concurrently, which

is the focus of our discussion below. Here, we follow the technique presented in

(Angeles et al., 1988).

Crucial to our discussion is the concept of path orientation. Let JT be a

warped curve in 3-dimensional space that is smooth in a certain interval of

interest for our discussion. Under these conditions, we can associate with every

point of this interval an orthonormal triad of vectors, i.e., a set of unit vectors

that are mutually orthogonal, namely, the tangent^ the normal^ and the binormal

vectors of JT. Therefore, when this set of vectors is properly arranged in a 3 x 3

11.2 Curve Geometry 431

array, a rotation matrix is obtained. This matrix thus represents the orientation

of r. In order to parameterize these vectors, let s be the arc length measured

along r from a certain reference point on this curve. Below we review the basic

diflFerential-geometric concepts pertaining to our discussion.

The tangent, normal, and binormal unit vectors, e^, e^, and e?,, respectively,

associated with every point of F where this curve is smooth, are generically

termed here the Frenet-Serret vectors. These vectors are defined a]

 

sدر حالی که اکثر روش های برنامه ریزی مسیر در سطح دکارتی مختصات
تمرکز بر روی راه و پس از نقطه عمل، سینماتیک معکوس زمینه
از بازوهای مکانیکی شش محور نیاز به مشخصات از جهت گیری
از EE است. در حضور منبلترس ساده با یک کروی
مچ دست، به عنوان کسانی که در بند 4.4.2 مورد مطالعه، موقعیت و جهت گیری
وظایف به آسانی از هم جدا، و از این رو، برنامه ریزی از دو وظایف را می توان
انجام در یک زمان. در موارد دیگر، به عنوان مثال، در اکثر ربات ها جوش قوس الکتریکی، چنین
جدایی ممکن نیست، و هر دو وظایف باید به صورت همزمان برنامه ریزی شده، که
تمرکز بحث ما به شرح زیر میباشد. در اینجا، ما از روش ارائه شده در دنبال
(آنجلس و همکاران، 1988).
بسیار مهم به بحث ما مفهوم جهت گیری مسیر است. اجازه دهید JT یک
منحنی تاب در فضای 3 بعدی است که صاف در یک بازه ی معین
بهره برای بحث ما. تحت این شرایط، ما می توانیم با هر شریک
نقطه ای از این فاصله سه گانه orthonormal از بردارها، به عنوان مثال، مجموعه ای از بردارهای واحد
که متعامد، یعنی، مماس ^ ^ را عادی و binormal
بردار از JT. بنابراین، زمانی که این مجموعه ای از بردار است به درستی در یک 3 × 3 مرتب
11.2 منحنی هندسه 431
آرایه، یک ماتریس چرخش به دست آمده است. این ماتریس در نتیجه نشان دهنده جهت گیری
از r است. به منظور پارامترها این بردارها، S را به طول کمان اندازه گیری
همراه r از یک نقطه مرجع خاصی در این منحنی. در زیر بررسی می کنیم اساسی
مفاهیم diflFerential هندسی مربوط به بحث ما.
مماس، طبیعی، و بردار واحد binormal E ^ E ^، و پست؟ ،،، به ترتیب،
مرتبط با هر نقطه از F که در آن این منحنی صاف است، عام
نامیده می شوند در اینجا بردار Frenet-Serret. این بردار

ها به عنوان تعریف

 

هندسه منحنی

 

ردیابی مداوم مسیرContinuous-Path Tracking

 

Trajectory Plaing:

Continuous-Path

Operations

 

برنامه ریزی مسیر:
به طور مداوم راه
عملیات

درحال حاضر، ما هشت راه حل را در اختیار داریم  که از بین  آنها باید یک مسیری را  انتخاب کنیم

درغیاب هریک از معیارها یک راه حل ویژه از میدان خارج می شود ما می توانیم راه حل هایی را برگزینیم که پائین ترین عدد را دارند . اگر این کار را انجام دهیم نهایتا می توانیم به راه حل 1  موجود در جدول  3-11 برسیم

Now, we have eight solutions at our disposal, from which we must choose

one for path-tracking. In the absence of any criterion to single out one specific

solution, we can pick up the solution with the lowest condition number. If we

do this, we end up with solution 1 in Table 11.3.

 

اما کوشش ما در این است که مسیری را برگزینیم که این راه  حل را در خود داشته باشد و بقیه راه حل ها را از میدان به در کند . از 7 راه حل باقی مانده ؛ راه حل 5 دارای کمترین شرایط عددی است از این راه حل بعنوان تنها راه حل پرتابه آزاد استفاده می شود .

However, when we attempted

to track the given path with this solution, it turned out that this solution

encountered a singularity and was hence discarded. Of the seven remaining

solutions, solution 5 has the lowest condition number; this solution led to a

singularity-free trajectory.

 

هنگامی که راه حل مناسبی برگزیده شد ؛ مسیر راه   می تواند با رد یابی به  کمک الگوریتم  11.5.2نعیین شود . در اینجا نیازداریم که  مجموعه ای گسسته از حالت هایی که فاصله زمانی برابر دارند داشته باشیم .

Once the appropriate solution is chosen, the trajectory can be tracked with

the aid of Algorithm 11.5.2. Here, we need a discrete set of poses at equal

time-intervals.

 

توجه کنید که ما چنین مجموعه ای با فواصل برابر با زاویه if  باید داشته باشیم چون بیان متغیرهای حالت بر اساس فواصل برابر این زاویه صورت گرفته است .

 

 Note that we can produce such a set at equal intervals of angle

if because we have expressions for the pose variables in terms of this angle.

 

 

به منظور به دست آوردن این مجموعه در فواصل زمانی برابر نیاز داریم که زاویه ( P بعنوان a ، تابعی از زمان  و  بعنوان مثال، (P (t) است.

 

In order to obtain this set at equal time-intervals, then, we need angle (p as a,

function of time, i.e., (p(t).

 

در عاقبت، ما نیز نیاز به زمان T  برای  تکمیل کار داریم .. در  حال حاضر، از سرعت نوک الکترود ثابت است و

برابر با T ^ O،است که  T زمانی است که به آسانی با تقسیم طول I  بدست می آید .

 

 In the sequel, we will also need the time T needed

to complete the task. Now, since the speed of the electrode tip is constant and

equal to t^o, the time T is readily obtained by dividing the total length I of the